有理数的全体，按其自然顺序——小者居左的顺序——做顺序，成一有序集$\mathbb{Q}$.设$a,b,c$都是有序集$M$的元素，当$a\prec b\prec c$时，称$b$在$a$与$c$之间.

设$A$是一无首元素和末元素的可列有序集.假如$A$的任何两元素间必有$A$的元素,则存在$\mathbb{Q}$到$A$的序同构.

 

 

 

证明：把$A$中的元素挑出来排成一个如下数阵，这个数阵中的每个序列都没有首元素，也没有末元素.\begin{align*}&\cdots a_{-1,1}\prec a_{0,1}\prec a_{1,1}\prec a_{2,1}\prec \cdots\prec a_{n,1}\prec\cdots\\&\cdots a_{-1,2}\prec a_{0,2}\prec a_{1,2}\prec a_{2,2}\prec\cdots\prec a_{n,2}\prec\cdots\\&\cdots a_{-1,3}\prec a_{0,3}\prec a_{1,3}\prec a_{2,3}\prec\cdots\prec a_{n,3}\prec\cdots\\&\cdots a_{-1,4}\prec a_{0,4}\prec a_{1,4}\prec a_{2,4}\prec\cdots\prec a_{n,4}\prec\cdots\\\vdots\\&\cdots a_{-1,m}\prec a_{0,m}\prec a_{1,m}\prec a_{2,m}\prec\cdots\prec a_{n,m}\prec\cdots\\\vdots\end{align*}数阵中各个元素之间的关系是：$\forall p\in\mathbb{Z},q\in \mathbb{Z^+}$,$a_{p,q}\prec a_{p,q+1}\prec a_{p+1,q}$.让该数阵有可数行，每行有可数个元素.由于$A$是可数的，所以我总能想办法让$A$中的每个元素都在该数阵中出现.(这是因为假若你说$A$中有一个元素不在这个数阵里，那么我可以把这个元素放在这个数阵里,反正你所说的“不在这个数阵里的元素”最多只能是可数个，我即使把你所说的全放进去，数阵也不会由可数变做不可数.)

对于另外任何一个无首元素和末元素的可列有序集$B$，$B$的任何两元素之间必有$B$的元素，下证存在$A$到$B$的序同构.我们把$B$进行和$A$同样的处理，得到\begin{align*}&\cdots b_{-1,1}\prec b_{0,1}\prec b_{1,1}\prec b_{2,1}\prec \cdots\prec b_{n,1}\prec\cdots\\&\cdots b_{-1,2}\prec b_{0,2}\prec b_{1,2}\prec b_{2,2}\prec\cdots\prec b_{n,2}\prec\cdots\\&\cdots b_{-1,3}\prec b_{0,3}\prec b_{1,3}\prec b_{2,3}\prec\cdots\prec b_{n,3}\prec\cdots\\&\cdots b_{-1,4}\prec b_{0,4}\prec b_{1,4}\prec b_{2,4}\prec\cdots\prec b_{n,4}\prec\cdots\\\vdots\\&\cdots b_{-1,m}\prec b_{0,m}\prec b_{1,m}\prec b_{2,m}\prec\cdots\prec b_{n,m}\prec\cdots\\\vdots\end{align*}

然后我们构造从$A$到$B$的函数$f$,$f(a_{p,q})=b_{p,q}$.可知$f$是双射而且$f$是序同构.由于有理数的全体，以其自然顺序——小者居左的顺序——做顺序，成一有序集$\mathbb{Q}$，而且任何两个有理数之间都有有理数，而且$\mathbb{Q}$是可数的，把$\mathbb{Q}$看作$B$即可.因此$\mathbb{Q}$和$A$之间存在序同构.

 

注:一个类似问题见我的StackExchange